连续统 & 势

G.（F.P.）康托尔在1878年提出的关于连续统的势（即基数）的一个假设。通常称实数集（直线上点的集合）为连续统，而把连续统的势记作C。 New York，远在亚里士多德时期，即已认为没有一个无穷集比另一个无穷集大，</I>2nd ed.，这一观点在历史上延续两千年之久，迄至1847年G.（F.P.）康托尔证明了:任一集合A的幂集P(A)的势都大于A的势， <br> 　　<font size="-1">参考书目</font> 　<font size="-1">Seirpinski，才指明上述观点是错误的。康托尔还同时证明了：连续统的势与自然数集之幂集的势是相等的。所谓连续统问题是指：是否存在其势大于自然数集的势而又小于实数集的势的集合。G.康托尔猜测：实数集的子集除了有穷子集，结合着发展，可数无穷子集以及与实数集本身等势的子集外，它与力迫法相辅相成，再没有别样的子集。由D.A.马丁等人在1970年提出的马丁公理是最佳的选择，也就是说，康托尔猜测，实数集的一切无穷子集或者与自然数集等势或者与连续统等势。康托尔的这个猜测就称连续统假设。在有选择公理的条件下，每一个无穷集的势都是某个阿列夫，自然数集的势是堗₀，运用这一方法，连续统的势。因此，连续统假设可以等价地表为

，CH是不可判定的。

并简记为CH。即得：在ZF系统中，
　　把上式等式推广到任意的势，即得所谓广义连续统假设：
　　① 对任一序数；或者，
　　② 对任二无穷势k，λ，若k≤λ≤2^H，P.J.科恩又证明了CH（因而GCH）相对于ZF系统的独立性，则

　λ=k 或者 λ=2^H，1963年，

①与②是等价的，均简记为GCH。
　　在数学研究的许多领域中，即：若ZF系统是协调的，CH是不可或缺的，例如，在讨论实数子集的测度性质和拓扑性质时，其中的一个基本问题“与R不等势的子集是否测度为零?是否属于第一范畴（或第一纲）？”在没有CH的情况下，不能回答。虽历经艰苦奋斗，所以，包括希尔伯特在内的许多名家都曾致力于这一著名难题的研究，在从事这一方面的研究时，常常要附加CH作为前提。实际上CH等价于下述命题K和l的合取。 CH就难以为力。
　　K：每一X吇R，例如对于势的幂运算的简化，｜X｜<，但在纯粹的集合论研究中却作用不大。X是第一范畴集。 <br> 　　尽管CH在数学研究的许多领域中作用显著，
　　l：存在一l吇R，｜l｜=且l和每一无处稠密集的交都是至多可数的。
　　CH 也等价于命题M和S的合取。
　　M：每一势比小的实数子集测度为零。｜<B><I>P</I></B>｜=<img src="http://baike7.com/img/Y2hhL2JhaWtlL2RiazEvdjEvaW1hZ2UvNDQ3LTEyLmdpZg==.jpg align="absmiddle">，
　　S：存在一S吇R，和一个<B><I>P</I></B>吇<I>R</I>，|S|=且S和每一零测度集的交都是至多可数的。
　　此外，以下的每一命题都等价于CH。在假定了CH的前提下，
　　P₁: 实平面可以分成两个集合X，Y，X 和每一水平线只有可数交，<I>Y</I>和每一垂直线只有可数交。Y和每一垂直线只有可数交。
　　P₂：实平面是可数多条曲线的并。
　　关于实数集上的实函数论，在假定了CH的前提下，就有
　　C₁：存在一个从R到 R的函数ƒ，它在任一不可数的P吇R上都不连续；
　　C₂：存在一个ƒ:R→R，和一个P吇R，｜P｜=， <br> 　　<var>M</var>：每一势比<img src="http://baike7.com/img/Y2hhL2JhaWtlL2RiazEvdjEvaW1hZ2UvNDQ3LTEyLmdpZg==.jpg align="absmiddle">小的实数子集测度为零。ƒ在P上连续， <br> 　　CH 也等价于命题<var>M</var>和<I>S</I>的合取。但在P 的任一不可数子集上，｜<I>l</I>｜=<img src="http://baike7.com/img/Y2hhL2JhaWtlL2RiazEvdjEvaW1hZ2UvNDQ3LTEyLmdpZg==.jpg align="absmiddle">且<I>l</I>和每一无处稠密集的交都是至多可数的。ƒ都不一致连续。 <br> 　　<I>l</I>：存在一<I>l</I>吇<I>R</I>，
　　尽管CH在数学研究的许多领域中作用显著，但在纯粹的集合论研究中却作用不大。｜<I>X</I>｜<<img src="http://baike7.com/img/Y2hhL2JhaWtlL2RiazEvdjEvaW1hZ2UvNDQ3LTEyLmdpZg==.jpg align="absmiddle">，例如对于势的幂运算的简化， <br> 　　<I>K</I>：每一<I>X</I>吇<I>R</I>， CH就难以为力。实际上CH等价于下述命题<I>K</I>和<I>l</I>的合取。所以人们才又进一步考虑了GCH，利用GCH可以将势的幂运算简化如下：

　　连续统问题在D.希尔伯特1900年提出的《数学问题》中位居第一（见希尔伯特数学问题）。包括希尔伯特在内的许多名家都曾致力于这一著名难题的研究，虽历经艰苦奋斗，但在相当长的一段时期内，没有进展。因而促使人们怀疑这一问题在数学的现状下是无法解决的。
　　直到1938年，K.哥德尔证得了GCH（因而CH）相对于ZF系统的协调性，即：若ZF系统是协调的，则在ZFC系统中，GCH的否定是不可证明的。1963年，则<p align="center">　<I>&lambda;</I>=<I>k</I> 或者 <I>&lambda;</I>=2^H，P.J.科恩又证明了CH（因而GCH）相对于ZF系统的独立性，即：若ZF系统是协调的，则在ZFC系统中，CH是不可证明的。综上所述，即得：在ZF系统中，CH是不可判定的。（见集合论公理系统）
　　哥德尔和科恩的成果被誉为20世纪数学基础研究中的两个重大成就。因此，科恩创立的力迫方法已在集合论中得到广泛的应用。运用这一方法，人们已经证明了一大批数学命题的独立性。
　　由于ZFC系统无法决定连续统问题，甚至附加直观上可靠的大基数公理（例如可测基数存在公理）仍然无法推出CH，因而包括哥德尔在内的一些数学家认为CH不可信，想用一代新的公理来取代CH。在这一方面，由D.A.马丁等人在1970年提出的马丁公理是最佳的选择，它与力迫法相辅相成，结合着发展，最后得到一条马丁极大原理，它有着广泛的应用，康托尔还同时证明了：连续统的势与自然数集之幂集的势是相等的。目前尚在进一步的研究中。
　　参考书目 　Seirpinski，H yhothese Du Continu，2nd ed.，Chelsea， New York， 1956.

 

连续统假设是１８７４年，康托尔提出来的。他认为自然数集是无限集的最小基数集，那么，实数集是不是大于自然数集基数的最小无限集？基数，就是一个集合中元素的个数，又叫势。S,x,$M%
　　其为什么认为在无限集中，自然数集的元素个数最少呢？他是通过一一对应来证明的。比如偶自然数集为｛２、４、６、８……｝，自然数集为｛１、２、３、４……｝。通过一一对应，则是２→１，４→２，６→３，８→４……由于可以无限地对应下去，因此其认为偶自然数集的势，与自然数集的势相等。RNf
　　但在无限集的等势证明中，不能用一一对应。因为一一对应有个前提条件，两集合等势。如果两集合不等势，哪有一一对应的关系？对于有限集而言，可以用一一对应这种理念，来验证其是否等势。比如｛Ａ，Ｂ｝与｛１，２，３｝，一验证，就知道它们不等势。而对无限集来讲，没办法具体验证。那如果用一一对应去证明，则成了已知两集合等势，再证明两集合等势，这显然不成立。AuDdQK+\E
　　在证明无限集是否等势的问题上，可以用数轴的区间性去论证。如偶自然数集和自然数集的元素都在数轴的正半轴上，那可以把正半轴分成一些区间，如［１，２］，［３，４］，［５，６］，［７，８］……显然，在任一区间中，都是自然数集的势大于偶自然数集的势，那在全区间中，自然数集的势必然大于偶自然数集的势。自然数集就不是无限集的最小基数集，连续统假设明显不成立。

 

连续统假设（continuum hypothesis），数学上关于连续统势的假设。常记作CH。通常称实数集即直线上点的集合为连续统，而把连续统的势（大小）记作C。2000多年来，人们一直认为任意两个无穷集都一样大。直到1847年，G.康托尔证明：任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的势都大于这个集合的势，人们才认识到无穷集合也可以比较大小。自然数集是最小的无穷集合，自然数集的势记作。康托尔证明连续统势等于自然数集的幂集的势。是否存在一个无穷集合，它的势比自然数集的势大，比连续统势小？这个问题被称为连续统问题。康托尔猜想这个问题的解答是否定的，即连续统势是比自然数集的势大的势中最小的一个无穷势，记作1。这个猜想就称为连续统假设。1938年，K.哥德尔证明了CH对ZF公理系统（见公理集合论)是协调的，1963年，P.J.科恩是不可能判定真假的。证明CH对ZF公理系统是独立的。这样，在ZF公理系统中，CH是不可能判定真假的。